Medidas de dispersión
Las medidas de dispersión, también llamadas medidas de variabilidad, muestran la variabilidad de una distribución, indicando por medio de un número, si las diferentes puntuaciones de una variable están muy alejadas de la media. Cuanto mayor sea ese valor, mayor será la variabilidad, cuanto menor sea, más homogénea será a la media. Así se sabe si todos los casos son parecidos o varían mucho entre ellos.
Pero la suma de las desviaciones es siempre cero, así que se adoptan dos clases de estrategias para salvar este problema. Una es tomando las desviaciones en valor absoluto (Desviación media) y otra es tomando las desviaciones al cuadrado (Varianza).
Rango estadístico
El rango o recorrido estadístico es la diferencia entre el valor mínimo y el valor máximo en un grupo de números aleatorios. Se le suele simbolizar con R.
[editar] Requisitos del rango
* Ordenamos los números según su tamaño.
* Restamos el valor mínimo del valor máximo.
Para una muestra (8,7,6,9,4,5), el dato menor es 4 y el dato mayor es 9 (Valor unitario inmediatamente posterior al dato mayor menos el dato menor). Sus valores se encuentran en un rango de:
Rango = (9-4) =5
Desviación típica
La varianza a veces no se interpreta claramente, ya que se mide en unidades cuadráticas. Para evitar ese problema se define otra medida de dispersión, que es la desviación típica, o desviación estándar, que se halla como la raíz cuadrada positiva de la varianza. La desviación típica informa sobre la dispersión de los datos respecto al valor de la media; cuanto mayor sea su valor, más dispersos estarán los datos.
Rango
Algo que responde a la identificación de la dispersión de los datos de una muestra es el rango, el cual se define como la diferencia entre el dato mayor menos el dato menor de un conjunto de datos. Su obtención es sumamente sencilla, sin embargo se considera que no es una medida muy significativa, su aplicación es más útil en la llamada estadística no parámetrica. Una expresión para el rango puede ser vista como:
Podemos retomar el ejemplo planteado en el se observaba que las muestras tienen diferente dispersión, aunque su media y mediana eran iguales, por lo que una forma de marcar su diferencia es a través del rango.
Para la primera muestra (0, 45, 50, 55, 100), el dato menor es 0 y el dato mayor es 100, por lo que sus valores se encuentran en un rango de:
Rango = 100 – 0 =100
EJEMPLO:
Mientras que para la segunda muestra (47, 49.5, 50, 51.5, 52), el dato menor es 47 y el dato mayor es igual a 52 por lo que su rango correspondiente es igual a:
Rango = 52 – 47= 5
Lo que indica que la segunda muestra es más homogénea ya que sus datos están dispersos en un menor rango.
Es también común identificar el rango como recorrido.
Desviación estándar
La desviación estándar o desviación típica (σ) es una medida de centralización o dispersión para variables de razón (ratio o cociente) y de intervalo, de gran utilidad en la estadística descriptiva.
Se define como la raíz cuadrada de la varianza. Junto con este valor, la desviación típica es una medida (cuadrática) que informa de la media de distancias que tienen los datos respecto de su media aritmética, expresada en las mismas unidades que la variable.
formula
Expresión de la varianza muestral:
{S_X^2} = \frac{ \sum\limits_{i=1}^n \left( X_i - \overline{X} \right) ^ 2 }{n}
Segunda forma de calcular la varianza muestral:
{S_X^2} = \frac{ \sum\limits_{i=1}^n X_i^2}{n} - \overline{X}^2
desviación media
La desviación media es la media de las diferencias en valor absoluto de los valores a la media.
D_m = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^n \left| x_i - \overline{x} \right|
Este valor estadístico no es de mucha utilidad en estadística debido a que no es fácil manipular dicha función al no ser derivable.
La desviación absoluta respecto a la media, Dm, la desviación absoluta respecto a la mediana, DM, y la desviación típica, σ, de un mismo conjunto de valores verifican la desigualdad:
D_M \leq D_m \leq \sigma
Siempre ocurre que
0 \leq D_m \leq \frac{1}{2} Rango
donde el Rango es igual a
Rango = valor máximo − valor mínimo
Dm = 0 cuando los datos son exactamente iguales (e iguales a la media aritmética)
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